無断駐車で罰金1万円支払いなさいと言われました

無断駐車で罰金1万円支払いなさいと言われました！

至急お願いします！！
今日、他府県に用事があり、全く土地勘がなかったため、某レストランの駐車場に、無断駐車しました。確かに、私のほうに、落ち度があったのは認めますが、帰りに、ランチを頂くつもりで、そのレストランに、駐車したのですが、戻ってきたら、フロントガラスに、張り紙がしてあり、お店の方が、出てこられて、罰金一万円いただきますと言われました。

けりに、ランチを頂くつもりで、駐車しましたと、説明しましたが、それは、言い訳であり、気づきませんでしたが、駐車場の看板に、罰金一万円の看板があり、看板を設置してあるにもかかわらず、と言われました。

では、ランチをいただきますと、言うと、ランチを食べてもらっても、罰金はいただきますと、も言われました。

確かに、ご迷惑をお掛けしたのは、悪かったと思い、やもえず、1万円支払うことに下のですが、持ち合わせがなく、2千円だけ手付けに支払いました。

免許証も見せ、携帯電話番号も、お知らせしましたが、自宅に戻り、落ち着いて考えてみたら、確か私有地とはいえ、看板を設置していても、絶対支払わなくてはならないというう、法律もしくは、強制は、なかったのではと・・・

どうなんでしょうか？

そのあたり、詳しい方教えてください。